Blog diseñado para la materia de Probabilidad y Estadística de la Facultad de Ingeniería de la UNAM.
Grupo 12 de Probabilidad y Estadística, semestre 2014-1.
A continuación se presenta el vocabulario importante a
considerar para el tema de Inferencia Estadística.
Población: también
llamada universo o colectivo, es el conjunto de elementos de referencia sobre
el que se realizan unas de las observaciones. Es el conjunto sobre el que
estamos interesados en obtener conclusiones (hacer inferencia). Normalmente es
demasiado grande para poder abarcarlo.
Muestra: es un subconjunto de casos o individuos de una
población estadística.
Parámetro: Es una cantidad numerica calculada sobre una
pobilación y resume ls valores que esta toma en algún atributo.
Estadístico: Es una función de las variables aleatorias que
se pueden observar en una muestra y que no depende de parámetros desconocidos
Estimador: Es un estadístico (esto es, una función de la
muestra) usado para estimar un parámetro desconocido de la población. Por
ejemplo, si se desea conocer el precio medio de un artículo (el parámetro
desconocido) se recogerán observaciones del precio de dicho artículo en
diversos establecimientos (la muestra) y la media aritmética de las
observaciones puede utilizarse como estimador del precio medio.
Estimación: Es el conjunto de técnicas que permiten dar un
valor aproximado de un parámetro de una población a partir de los datos
proporcionados por una muestra. Por ejemplo, una estimación de la media de una
determinada característica de una población de tamaño N podría ser la media de
esa misma característica para una muestra de tamaño n.
Variable aleatoria Conjunta: son variables definidas sobre un mismo espacio muestral, nos permiten estudiar dos o más características de un experimento.
Variable aleatoria Conjunta discreta: es aquella que se encuentra conformada necesariamente por variables de tipo discreta.
Función de Probabilidad Marginal: Función de probabilidad de una variable al margen de la otra.
Función de Probabilidad Condicional: es aquella que está dada debido a una cierta condición o valor que toma una de las variables aleatorias.
Variable Aleatoria Conjunta Continua: es aquella la cual se encuentra formada por variables de tipo continuas.
Función de Distribución Conjunta: Proporciona el comportamiento probabilístico acumulado conjunto de una serie de variables aleatorias.
Variables aleatorias conjuntas independientes: las variables aleatorias se dice que son independientes si la Covariancia es cero.
Covariancia: Es una medida de dispersión que indica, en promedio, que tanto se alejan conjuntamente los valores de sus medias respectivas.
Coeficiente de Correlación: Es una cantidad adimensional que mide la asociación lineal existente entre las dos variables aleatorias, se denota con rho(p) y su intervalo es [-1,1].
Coeficiente de Determinación: nos proporciona el grado de explicación de una variable respecto a la otra, es decir que tanto se explica “y” conociendo “x”.
• Distribuciones
de probabilidad: Una distribución de probabilidad indica toda la gama de
valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se
llevase a cabo. Es decir, describe la
probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una
herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un
escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de
diversos fenómenos naturales.
• Parámetros:
Número que resume la gran cantidad de datos que pueden derivarse del estudio de
una variable estadística. El cálculo de este número está bien definido,
usualmente mediante una fórmula aritmética obtenida a partir de datos de la
población.
• Éxito:
Consecución satisfactoria de una tarea o actividad
• Fracaso:
Resultado adverso en una cosa que se esperaba que saliera bien
• Independencia
probabilística: El número de ocurrencia en cualquier intervalo de tiempo es no
depende del número de ocurrencias en cualquier otro intervalo
• Distribución
Discreta Uniforme: Una de las distribuciones más simples. Es aquella en la cual
la v.a. asume cada uno de sus valores con la misma probabilidad.
• Distribución
de Bernoulli: Es el caso más sencillo para modelar un experimento. Esta
distribución cuenta únicamente con dos resultados posibles; éxito (e) o fracaso
(f), con probabilidades p y q=1-p respectivamente. En esta distribución el
experimento sólo se realiza una vez.
• Proceso
de Bernoulli: Repetición del ensayo de Bernoulli, el cual consiste de n ensayos
de Bernoulli, en donde los resultados de cada ensayo se pueden clasificarse
como éxito o fracaso. La probabilidad de éxito p, permanece constante para
todos los ensayos, en donde cabe aclarar que todos los ensayos son
independientes. Este proceso permite definir otras variables aleatorias como la
binomial, la geométrica y la de pascal.
• Distribución
Binomial: Aquella distribución, en donde la variable aleatoria representa el
número de éxitos que se observan al realizar un proceso de Bernoulli. Se
considera a una población infinita (o finita con reemplazo).Distribución
dedicada a variable discreta.
• Distribución
Geométrica: Aquella distribución, en donde la variable aleatoria representa el
número de ensayos de Bernoulli que se requieren para observar por primera vez
un éxito. Distribución dedicada a variable discreta.
• Distribución
de Pascal (Distribución Binomial Negativa): Generalización de la distribución
geométrica. En esta, la variable aleatoria representa el número de ensayos de
Bernoulli que se requieren para observar el r-ésimo éxito, si en cada uno de
los ensayos de tiene una probabilidad de éxito p. Distribución dedicada a
variable discreta.
• Distribución
Hipergeométrica: Aquella distribución en donde se considera a la población como
finita de tamaño N (y sin reemplazo). En esta, la variable aleatoria representa
el número de éxitos en n ensayos extraídos de una población, con r elementos
que tienen la característica de interés. Distribución dedicada a variable
discreta.
• Distribución
de Poisson: Una de las distribuciones discretas que tienen más aplicación.
Sirve cuando se desea calcular la probabilidad de ocurrencias de un evento en
un intervalo continuo determinado. En particular, se puede modelar el número de
llegadas por unidad de tiempo. Distribución dedicada a variable discreta.
• Estacionaridad:
La probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo de tiempo de longitud t
es t, con constante. Recibe el nombre de intensidad del proceso.
• Unicidad
o No multiplicidad: La probabilidad de que ocurra más de un evento en un
intervalo (de tiempo) de longitud h(h0) es despreciable comparada con la
probabilidad de que ocurra solamente uno.
• Distribución
continua uniforme: Es aquella distribución que al igual que la distribución
discreta uniforme, la probabilidad se mantiene constante, la diferencia recae
en que en esta distribución se utiliza una variable aleatoria continua.
• Distribución
exponencial: Aquella en donde la variable aleatoria (T), representa el
intervalo (generalmente tiempo) que transcurre entre dos ocurrencias sucesivas
de un evento. Distribución dedicada a variable contínua.
• Distribución
Normal: Es la distribución más utilizada en la práctica. Muchos problemas
reales tienen un comportamiento que se puede aproximar al de la distribución
normal. Fue descubierta por DeMoivre en 1733 como una forma límite de la
distribución binomial, después la estudió Laplace, aproximadamente en el año de
1775y en ocasiones se le conoce como distribución Gaussiana debido a que Gauss
la citó en un artículo en 1809. Durante los siglos XVIII y XIX se hicieron
esfuerzos para establecer el modelo normal como la ley básica que rige las
variables aleatorias continuas, de ahí su nombre. Estos esfuerzos fracasaron.
En esta distribución, al ser simétrica, la media, la mediana y la moda
coinciden en el mismo valor. Por otro lado, la curtosis de la distribución
normal es 3, y es por eso que la curtosis se compara contra dicho valor. Para
obtener la probabilidad de que la variable aleatoria X se encuentre entre a y
b, es necesario obtener el área bajo la curva normal, pero la solución
analítica exacta para la integral no existe, por lo que se utilizan métodos
numéricos o tablas de la distribución normal estándar.
• Distribución
Normal Estándar: La distribución normal estándar es un caso particular de la
distribución normal, la cual tiene como parámetros 0 y 1, es decir, tiene una
media de cero y una varianza de 1.
Variable aleatoria: Una variable aleatoria es una función que asigna números reales a cada posible resultado de un experimento aleatorio. Se pueden clasificar en continuas, discretas o mixtas. Variable aleatoria discreta: Este tipo de variable aleatoria solo puede tomar valores de un conjunto numerable de valores. Función masa de probabilidad: Se llama a así a la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta. Variable aleatoria continua: Este tipo de variable aleatoria puede tomar valores de un conjunto infinito no numerable de valores. Función densidad de probabilidad: Se llama a así a la función de probabilidad de una variable aleatoria continua. Función de distribución: La función de distribución de una variable aleatoria X se define con una función que asocia a cada valor real, la probabilidad de que la variable aleatoria asuma valores menores o iguales a él. Valor esperado: También llamada esperanza matemática, es el valor que se espera obtener en un experimento aleatorio. Es decir el valor esperado es la media de un conjunto de datos estadísticos. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Media: Se definió anteriormente como valor esperado. Moda: Es aquel valor para el cual la función masa de probabilidad o densidad de probabilidad, toma su valor máximo. Mediana: Es aquel valor para el cual la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores iguales o menores a dicho valor es 0.5. MEDIDAS DE DISPERSIÓN. Rango: El rango se define como la diferencia entre el valor mayor que puede asumir la variable y el menor valor. Desviación media: La desviación media de una variable aleatoria es el valor esperado de la diferencia en valor absoluto entre los valores de X y su media. Varianza: Se define como el promedio del cuadrado de la diferencia de la variable aleatoria y su media. Es el segundo momento respecto a la media. Nos indica que tan lejos o tan cerca se encuentra algún valor de la media (del valor esperado). Desviación estándar: Se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Los juegos de azar, considerados de tal forma por la dificultad que presenta la predicción de los sucesos futuros dentro del mismo juego han sido sumamente atractivos para las personas a lo largo del tiempo. El principal encanto que presentan estos juegos se debe a la posibilidad que se tiene de acertar en la predicción que la persona hace respecto al juego: el número que saldrá en los dados, las cartas que tocaron a los otros jugadores o la casilla en la que quedará una pequeña pelota y demás, dependiendo del juego que se trate. Con el transcurso de los años, los juegos de azar han ido creciendo en popularidad debido a las altas sumas de dinero que se pueden ganar en ellos, de la misma forma que crecen la cantidad de juegos y la gente dedicada a elaborarlos y presentarlos en distintas partes del mundo.
A continuación se presenta un juego de azar, elaborado por el equipo 8 de Probabilidad y Estadística de la Facultad de Ingeniería con el objetivo de mostrar lo atractivo que puede resultar uno de estos juegos y lo rentable que es para quienes se dedican a ponerlos en práctica para el público.
En el, el jugador predecirá cuál carta saldrá de cada uno de los mazos, haciendo una apuesta inicial. Si el jugador no acierta ninguna de las cartas perderá la apuesta, o en otro caso de acuerdo al número de cartas que acierte y dependiendo de a qué mazo pertenezcan podrá ganar hasta el 300% de la apuesta de acuerdo a las siguientes reglas.
El manual de usuario como el mismo juego se pueden descargar haciendo click aquí
A continuación se presenta la resolución de 5 problemas de la Serie II, cuyo enlace es el siguiente Serie II, que a su vez se anexan dos ejercicios más resueltos en clase de la misma serie. Esperamos sea de su ayuda.
Además adjuntamos el archivo PDF para su descarga Descargar Aquí
lunes, 24 de febrero de 2014
Vocabulario semana 4
(17 – 21 de Febrero del 2014)
Cardinalidad: En un
conjunto, la cardinalidad corresponde al número de elementos que tiene el
conjunto. (Ejemplo: Si el conjunto A se compone de tres elementos entonces la
cardinalidad del conjunto A se denota por: n(A)=3).
Conjunto:Un conjunto puede considerarse como una colección de
objetos, llamados miembros o elementos del conjunto. En general, mientras no se
especifique lo contrario, denotamos un conjunto por una letra mayúscula y un
elemento por una letra minúscula. Sinónimos de conjunto son clase, grupo y colección.
Un conjunto puede definirse
haciendo una lista de sus elementos o, si esto no es posible, describiendo
alguna propiedad conservada por todos los miembros y por los no miembros. El
primero se denomina el método de
extensión y el segundo el método de
comprensión.
Imagen tomada de http://www.fisicanet.com.ar/matematica/estadisticas/ap1/probabilidad05.gif
Contar:Numerar o
computar las cosas considerándolas como unidades homogéneas.
Conteo: En
probabilidad se considera al conteo como la técnica o conjunto de las mismas
que permiten establecer el número de resultados posibles de un experimento o una
combinación de ellos.
Espacio muestral:Se denomina espacio muestral (Ω) de un experimento
aleatorio al conjunto de todos los posibles resultados del mismo. Equivale al
conjunto de resultados donde puede ocurrir cualquier cosa:
Ω= {S1, S2, S3,
S4,…, Sn}
Puede ser:
-Finito:
Si el número de elementos que tiene Ω está acotado.
-Infinito
numerable: Cuando, a pesar de tener infinitos elementos, no siempre es
posible intercalar uno entre dos dados. (Ejemplo: El No de veces que hay que
lanzar un dado hasta que salga un 6, puede ser 5 o 6, pero nunca puede estar
entre 5 y 6, es decir, siempre será entero)
-Infinito
no numerable: Cuando Ω tiene infinitos elementos, y además siempre se puede
intercalar uno entre dos cualesquiera de ellos. (Ejemplo: Tiempo de espera
hasta que un paciente que acude a urgencias es atendido.)
Evento: Un evento
A, es un conjunto de posibles resultados del experimento. A es un subconjunto
de Ω (A ⊂
Ω).
Ejemplo:
Al tirar un dado hay n=6 resultados posibles. El espacio muestral es Ω= {ω1,
ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}
donde ω1 es el evento de sacar un 1, ω2 es el evento de
sacar un 2 y así sucesivamente. Si definimos A como el evento de sacar un
número par, entonces A= { ω2, ω4, ω6}.
-Aleatorio:Un evento Aleatorio es aquel cuya
posibilidad de aparición no es totalmente conocida.
-Compuesto: Evento que
incluye dos o más eventos independientes.
-Determinista:Los
fenómenos deterministas son aquellos en los cuales podemos adelantar resultados
basados en leyes que tienen modelos establecidos, como por ejemplo: caída libre
de un cuerpo que se lo puede determinar mediante fórmulas.
-Simple: Evento que
solo incluye un experimento del que se obtendrán los posibles resultados y
probabilidad de ocurra cada uno de ellos.
Imagen tomada de http://img67.imageshack.us/img67/3264/dados0137171vd6.jpg
Fenómeno:Toda
manifestación que se hace presente a la consciencia de un sujeto y aparece como
objeto de su percepción.
Probabilidad: La
probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto
de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen
todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables
Fuentes:
·Aprender y saber matemáticas, Introducción a la
Probabilidad, consultado el día 18 de febrero de 2014,
Pasos para la construcción de tablas de frecuencias
Las tablas de frecuencias son herramientas de Estadística,
siendo estas un resumen en forma de arreglo tabular de los datos útiles más que
una simple enumeración dada por medio de una recolección de datos. Este arreglo
tabular se forma por columnas en donde son colocados los datos estadísticos que
representan los distintos valores recogidos en la muestra y las frecuencias
(las veces) en que ocurren.
“Secuencia de análisis de un estudio de datos
estadísticos”
La mayor importancia de la elaboración de tablas de
frecuencias es la determinación del número de intervalos (clases) que la
conforman. Este número depende de la cantidad y de la naturaleza de los datos a
resumir asi como del fín que se busca con el resumen.
A continuación se presentan los
pasos recomendados a seguir para poder realizar una tabla de frecuencias. En
base a las fuentes consultadas, es posible que los primeros pasos se pueden
realizar en un orden diferente, más la que se presenta en actual trabajo se
apega más a un orden lógico.
I.- Recopilación de datos
Como la mayoría de los análisis estadísticos incluyen un
gran número de datos, con los cuales sería imposible utilizar para ciertos
fines si es que estos no son compactados por medio de un procedimiento conocido
como Tabla de Distribución de Frecuencias, siendo ésta la forma más común de
organiza un gran número de datos
Por lo anterior, la elaboración de la dicha tabla inicia
con la recopilación de datos. Esto consiste en escribir los datos de la muestra
que nos interesa conocer, sin tener un cierto orden. Es decir, los datos
obtenidos se depositan en algún documento.
Un ejemplo que servirá para explicar algunos puntos del
presente trabajo es el siguiente donde se presenta un cuadro con datos no
ordenados los cuales fueron obtenidos de una muestra de estudiantes a quienes
se les fue preguntada su estatura.
Cuadro I: “Obtención de datos no ordenados”
II.- Ordenamiento de los datos
Tras la obtención de los datos experimentales, y una vez
finalizada la etapa anterior, se procede a realizar un ordenamiento de datos.
Principalmente se busca ordenar los datos en forma
ascendente o descendente para facilitar el conteo de datos que correspondan a
cada uno de los intervalos a considerar
más adelante.
De esta forma, del ejemplo de las estaturas de los
estudiantes, una vez finalizada la encuesta, se procede a ordenarlos,
obteniendo la siguiente tabla:
Cuadro II: “ Datos obtenidos de manera ascendente”
III.- Rango de los datos (R)
Es conveniente realizar el cálculo
del rango de los datos obtenidos, con el fin de ser utilizado en los puntos
precedentes.
El rango se obtiene con la
diferencia entre el dato mayor y el dato menor de la muestra.
IV.- Determinación del número
de clases (m)
Existen diversas formas para poder determinar el número de
clases, de manera que la elección de una de estas recae en el agrado y
comodidad del investigador
1.- El número de clases en que se agrupan los datos se
puede determinar como la raíz cuadrado del número de datos cuando este es menor
de 200. Para muestras con 200 o más datos el número de clases se determina con
la raíz cúbica del número de datos.
2.- Fórmula de Sturges (K): Esta forma sugiere la
utilización de la presente fórmula
Cabe mencionar que, si se decide
establecer previamente el tamaño o longitud longitud de clase , entonces el
número de clases se determina como
Algunas características
recomendadas son:
●El número de clases debe ser entre 5 y 20, dependiendo
del rango y del número total de datos,aunque es mejor entre 7 y 10 clases.
●Todos los datos deben estar incluidos en alguna clase.
De manera que siempre se redondea hacia arriba.
●Hasta donde sea posible, debe omitirse trabajar tanto
con clases de anchos diferentes, como con clases abiertas.
V.- Cálculo del tamaño de
clase(c)
Tras obtener el número de clase con la que se trabajará,
se procede a determinar el tamaño o longitud de clase.
Para poder determinarlo, es necesario conocer previamente
el rango, como se mencionó anteriormente. Teniendo en cuenta esto, el tamaño de
clase se obtiene al dividir el rango entre el número de clases.
VI.- Rango de tabla
Una vez calculado el tamaño de clase y el número de clases
a trabajar, es importante antes de continuar con los demás pasos, obtener el
rango de tabla, siendo este un nuevo rango con el cual se obtendrán dos valores
llamados límites (en este caso superior e inferior) los cuales contienen a
todos nuestros datos obtenidos.
Al ser diferentes este rango (mayor) al rango obtenido
previamente, es importante que abarque a todos los datos. Por lo tanto se
buscará “centrar” el rango de tabla con el rango anterior, de manera, se debe
obtener el cociente de la diferencia de los rangos y dos, y posteriormente
sumar este cociente al dato máximo (Max xi), y a su vez restarselo al
dato menor (Min xi).
Estos dos últimos números obtenidos representarán nuestros
límites aparentes, que a continuación explicaremos su importante función.
VII.- Elaboración de
intervalos y fronteras de clase (límites aparentes y reales)
Contando con el tamaño de clase, este último, nos indica
el número de datos que conforman a cada intervalo. Considerando los valores
extremos llamados límites. En cada intervalo aparece un límite inferior (LI) y
un límite superior (LS).
En este punto se deben realizar dos diferentes tipos de
intervalos, con diferentes tipos de límites. Estos son los Intervalos de clase,
los cuales incluye a los límites aparentes, y las Fronteras de clase, las
cuales incluye a los límites reales. Cabe destacar que para los pasos
siguientes, siempre se trabajara con los límites reales.
Como se vio en el punto anterior la obtención de los
límites aparentes, siendo estos números que se emplean para formar las clases. El
menor de ellos se llama límite Aparente inferior (LiA) y el mayor, el límite Aparente superior de la clase (LsA). Para la obtención de los límites reales para las Frontera de clase, son aquellos que se obtienen retándole media unidad de medida al límite aparente inferior de una clase y sumándole media unidad de medida al límite superior aparente de las diferentes clases. El límite real inferior se denota como (LiR) y al límite superior real se le denota como (LsR). Para determinar los valores de los límites para
cada Frontera de clase, se le va adicionando de manera horizontal y vertical, el tamaño de
clase, de manera que se logre coincidir, partiendo del límite inferior real menos una media unidad,
con el valor del límite superior real menos una media unidad.
Para la determinación y elaboración de los Intervalos de
clase, cada intervalo se forma sumando al límite aparente inferior un número
menos que que el tamaño de clase para obtener así el límite real superior.
Tomando en cuenta los límites superior e inferior real, el límite real inferior con el cual se inicia es el valor redondeado hacia arriba, mientras
que para el límite aparente superior, es el valor redondeado hacia abajo.
La diferencia entre ambos es que, en los intervalos de
clase en donde se trabajan límites aparentes, siempre tendrán los mismos
dígitos significativos que los datos originales, además que el intervalo
superior es diferente al intervalo inferior inmediato de la siguiente clase.
Además de que la adición del tamaño de clase sólo es posible observar de manera
vertical. Por otro lado, en las fronteras de clase, en donde se trabajan
límites reales, se trabajan con números racionales (pudiendo ser también
los mismos dígitos significativos que
los datos originales), en donde el límite superior de un intervalo coincide con
el límite inferior de la clase siguiente, además de que la adición del tamaño
de clase se puede observar tanto vertical como horizontalmente.
VIII.- Marcas de clase ( Xi )
La marca de clase o punto medio del intervalo es
simplemente es el cociente de la suma del límite inferior y superior real de
cada clase y dos. Es decir, para cada clase se trata del promedio de los
límites superior e inferior real. Se puede entender esto como el valor promedio
que se encuentra en cada clase, posteriormente se determinará su frecuencia
mediante un conteo.
IX.- Obtención de Frecuencias o conteo ( fi )
La frecuencia de clase se obtiene contando, en la tabla de
datos ordenados, los datos que correspondan al intervalo de dicha clase. Es
decir, en base a los límites de cada clase, se determina cuántos datos son
incluidos en esta clase, y este conteo representa nuestra Frecuencia.
X.- Frecuencia Acumulada( Fi)
La frecuencia acumulada, es la suma de la frecuencia de
clase y las frecuencias de las clases anteriores. Como es de esperarse, la
frecuencia acumulada de la primera clase es la misma frecuencia. Además, la
última frecuencia acumulada debe coincidir con el conteo total de datos de
nuestra tabla de datos ordenados inicial.
XI.- Frecuencia Relativa( f'i )
La frecuencia relativa, es el producto del cociente de la
frecuencia para cada clase y el total de datos (conteo) y cien, siendo esto un
porcentaje. Es decir, se trata de la
proporción de datos que se encuentran en cada clase.El multiplicarlo por cien
depende de la comodidad del investigador.
XII.- Frecuencia Relativa Acumulada( F'i)
La frecuencia relativa acumulada, es el cociente de la frecuencia acumulada (Fi) y el total de datos, el
cual también se puede expresar como porcentaje. Es importante recalcar que la
última Frecuencia Relativa Acumulada, debe representar la unidad o un 100%.
Una vez obtenidos estos datos, se concluye con la
construcción de la tabla de frecuencias, lo cual permite ahora calcular las
medidas descriptivas deseadas para un correcto análisis e interpretación de la
información de nuestros datos. De igual forma, es importante contar con una
representación gráfica de los datos de nuestra tabla de frecuencias.
XIII.- Histograma de frecuencia
El histograma de frecuencia, es un diagrama de barras que
representa, a escala, la frecuencia de las clases de una distribución de
frecuencias. Está formado por un conjunto de rectángulos, los cuales se
levanta uno para cada intervalo, de tal manera que la base será igual al tamaño
de clase ( C ) y la altura está dado, ya sea por la frecuencia , o también
la frecuencia acumulada ( en donde se ve
en esta última un crecimiento de izquierda a derecha). Algunos ejemplos son:
Gráficos I y II “ Ejemplos de histogramas para
frecuencia y frecuencia acumulada”
XIV.- Polígono de frecuencias.
Un polígono de frecuencias, es una figura cerrada
delimitada en su base por el eje horizontal, incluyendo la clase anterior a la
primera y la clase siguiente a la última, es decir, para esta representación es
necesario determinar una clase inferior (-1) a la primera clase, y una clase
superior (+1) a la última clase con el fin de que se cierre el polígono, en
estas dos nuevas clases, sus frecuencias son cero.
Los vértices del Polígono son los puntos centrales de la
horizontal superior de cada barra del Histograma, es decir, las marcas de
clase.
Para cada valor de la variable corresponderá un valor de
la frecuencia señalando en el plano cartesiano por un punto; luego de
establecidos todos los puntos, se unen mediante líneas rectas, las que en
conjunto forman el polígono. Permite representar la frecuencia relativa como
también la frecuencia. Algunos ejemplos son:
Gráficos III y IV: “ Ejemplos de polígonos de
frecuencia y de frecuencia relativa”
XV.- Ojiva.
La Ojiva, es un gráfico que muestra las frecuencias
acumuladas menores que cualquier límite real superior de clase. Para el trazado
de esta gráfica, primeramente, se ubican los puntos en el plano cartesiano.
Dichos puntos se determinan teniendo en cuenta la marca de clase (eje x) y las
frecuencias absolutas o relativas acumuladas (eje y).
Algunos ejemplos son los siguientes:
Gráficos IV y
V: “ Ejemplos de ojivas de frecuencia acumulada y frecuencia acumulada
relativa”
Es importante analizar las diferentes características que
presentan las curvas de frecuencia, en las que se pueden distinguir las
siguientes configuraciones:
Con esto también se busca dar a entender que, aun cuando
se tomen las medidas descriptivas comunes, es importante obtener algunas
medidas de forma de las curvas, ya que también permitirán obtener un mejor
análisis y comprensión del comportamiento de los datos.
Como se mencionó, la elaboración de una tabla de frecuencia, permite obtener las
medidas descriptivas para grupos de datos agrupados de una población o de una
muestra. Estas medidas nos proporcionará la información necesaria al
investigador para poder desarrollar conclusiones y observar el comportamiento e
información que emiten estos datos. A continuación se presenta una explicación
sucinta de estas medidas descriptivas con sus respectivas fórmulas.
Explicación Audio - Visual(material de refuerzo)
A continuación se proporcionan vídeos donde se explican
algunos de los elementos mencionados anteriormente o algunos conceptos necesarios
de antecedentes:
(Antecedentes)
●“Frecuencia relativa y frecuencia relativa
acumulada”
Las medidas de tendencia central nos indican en torno a
qué valor (centro se distribuyen los datos).
Media
La media es el promedio de la distribución
Mediana
La mediana es la puntuación de la escala que separa la
mitad superior de la distribución y la inferior, es decir divide la serie de
datos en dos partes iguales (%50 de los datos abajo y 50% de los datos arriba).
Moda
La moda es el valor que más se repite en una distribución
Explicación Audio-Visual (material de refuerzo)
A continuación se proporcionan vídeos donde se explican
algunos de los elementos mencionados anteriormente o algunos conceptos
necesarios de antecedentes:
●“Medidas de tendencia central. Moda, media y
mediana”
Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se
alejan del centro los valores de la distribución.
Rango
El rango es la diferencia entre el mayor y menor de los
datos de una distribución.
Varianza
La varianza es la media del cuadrado de las desviaciones
respecto a la media
Desviación media
La desviación media es la media de los valores absolutos
de las desviaciones respecto a la media.
Coeficiente de variación
Permite la comparación de la dispersión entre dos
poblaciones o muestras distintas e incluso, comprar la variación producto de dos
variables diferentes. Equivale a la razón entre la media y la desviación
estándar.
Explicación Audio-Visual (material de refuerzo)
A continuación se proporcionan vídeos donde se explican
algunos de los elementos mencionados anteriormente o algunos conceptos
necesarios de antecedentes:
●“Medidas de dispersión. Rango, desviación media,
varianza y desviación estándar”
Coeficiente de sesgo (Tercer momento
estandarizado)
Refleja el grado de simetría respecto de la media. Un
sesgo negativo da como resultado una cola de la gráfica asimétrica hacia los
valores pequeños de la variable, mientras que el sesgo positivo resulta en una
cola que se extiende hacia los valores grandes de la variable. Las variables
simétricas como las descritas por las distribuciones normal y uniforme, tienen
un sesgo igual a cero.
Imagen I: “Diferentes tipos de sesgos”
Coeficiente de curtosis
Describe lo puntiagudo de una distribución en
comparación con una distribución normal.
Es el grado de concentración que presenta los valores alrededores de la zona
central de distribución. Se definen tres tipos de distribuciones según grado de
curtosis:
-Distribución mesocúrtica: Grado de
concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable (el mismo
que presenta una distribución normal). Coef. de Curtosis = 3
-Distribución Leptocúrtica: Presenta un elevado grado de
concentración alrededor de los valores centrales de la variable. Coef. de
Curtosis > 3
-Distribución Platicúrtica: Presenta un reducido grado de
concentración alrededor de los valores centrales de la variable. Coef. de Curtosis < 3
Imagen II: “Diferentes tipos de curtosis”
Explicación Audio-Visual (material de refuerzo)
A continuación se proporcionan videos donde se explican
algunos de los elementos mencionados anteriormente o algunos conceptos
necesarios de antecedentes:
●“Medidas de la
Forma”
[Por cuestiones de Blogger, es imposible colocar el video http://youtu.be/SNllIAeD1SI , de igual manera recomendamos su consulta directa copiando el link en la barra de dirección web]
Puntos tomados a intervalos regulares de la función de
distribución de una variable aleatoria. Su función es informar el valor de la
variable que ocupará la posición (en tanto por cien) que nos interese respecto
de todo el conjunto de variables. Los Cuantiles son unas medidas de posición
que dividen a la distribución en un cierto número de partes de manera que en
cada una de ellas hay el mismo de valores de la variable. Los más importantes
-Cuartiles: Dividen a la distribución en cuatro partes iguales (tres
divisiones). C1, C2, C3 correspondientes a 25%, 50% y 75%
-Deciles: Dividen a la distribución en 10 partes iguales (9
divisiones) D1, ..., D9 corresponden a 10%, ..., 90%
-Percentiles: Dividen a la distribución en 100 partes (99
divisiones) P1, ..., P99, correspondientes a 1%, ..., 99%
Existe un valor en cual coinciden los cuartiles, los
deciles y percentiles. Este es cuando son iguales a la Mediana.
De manera que los autores, buscan que quede una comprensión clara al estar revistando el presente trabajo, se agrega adicionalmente un pequeño ejemplo en Excel basado en los datos expuestos en el paso uno de la elaboración de una tabla de frecuencias. Se espera que sea de gran utilidad.
Basándose en los pasos planteados anteriormente, se
realizará un ejemplo en donde se muestre de manera clara como se deben elaborar
las tablas de frecuencias. Nos apoyaremos de Office Excel y se irá explicando paso a paso como se debe trabajar
en dicho programa para facilitar la elaboración de tablas.
Los datos obtenidos fueron en base a la
altura de algunos alumnos de una facultad.
1.- Recopilación de datos:
Aquí se muestran los datos recopilados no ordenados de la altura de unos
alumnos. Para hacer el análisis de una manera más sencilla y eficaz conviene
ordenar los datos de menor a mayor, como se realizará a continuación, con el
fin de poder identificar mucho más rápido las diferentes clases y marcas de
clase.
2.- Ordenamiento de datos.
A
continuación se muestra en primera instancia una tabla con los datos no
ordenados y en seguida una con los datos ya ordenados:
Para realizar la tabla con los datos
ordenados en Excel, simplemente se tiene que buscar la opción Ordenar y
filtrar, y elegir las opciones que nos muestran como a se presenta a continuación:
3.- Obtención de Rango de datos:
Recordemos que el rango de datos se puede calcular de la siguiente manera:
Rango
=Dato mayor-el dato menor
En el ejemplo, el rango quedaría de la siguiente manera:
Rango= 1.87 – 1.52 = 0.35
4.- Determinación del número de
clases.
Como se mencionó anteriormente el número de clases se puede determinar con la
raíz cuadrada de el número de datos, siempre y cuando esté último sea menor que
200, Por lo tanto lo determinaremos de esa manera.
5.- Cálculo de longitud de clases.
Basándonos en el número de clases, se calculara la longitud de las mismas,
dividiendo el rango entre el número de clases. En el caso de que se obtenga un
número con decimales, se decide redondear al número más cercano superior.
En la imagen anterior se puede observar el número de clases, y la longitud de
clases.
6.- Rango de la tabla
Posteriormente se calcula el rango de la tabla, multiplicando el número de
clases por el tamaño o longitud de las mismas.
Rango de tabla= 0.06 x 6 =0.36
Sabiendo el nuevo rango procederemos a centrar
los datos según nuestro nuevo rango o rango de tabla. Utilizaremos la siguiente
fórmula:
Para límite inferior.
Para el límite superior.
Estos dos últimos números obtenidos representarán nuestros límites
reales.
7.-
Elaboración
de intervalos y fronteras de clase (límites aparentes y reales).
Cómo fue explicado en el trabajo, los límites reales o fronteras de clase se
obtienen al centrar nuestros datos con el rango de la tabla. Y el límite real
superior de la primera clase es exactamente igual al límite real inferior de la
clase siguiente.
Los límites aparentes de los intervalos de clase tienen los mismos dígitos
significativos que los datos originales. Y el aumento no va a ser de 0.06 como
en el caso de las fronteras de clase, si no en 0.05. El aumento en este caso
debe ser una unidad menor de cifras significativas en la longitud de las
clases, ya que esta vez el límite superior aparente de una clase debe ser una
unidad de cifra significativa menor que el límite inferior aparente de la clase
siguiente.
Cabe destacar que nuestro primer límite aparente será de 0.005 unidades más que
el primer límite real. Esto para que nuestros datos ajusten perfectamente.
Tomando en
cuenta los puntos anteriores nuestros límites reales y aparentes en nuestra
tabla quedan de la siguiente manera:
8.- Marcas de clase:
La marca de clase es el cociente
de la suma del límite inferior y superior real (fronteras de clase) de cada
clase y dos.
Por lo tanto las marcas de clase quedan de la siguiente manera:
9.- Frecuencia
Al contar los datos ordenados de cada clase
obtenemos nuestra tabla de frecuencia. Realizando un conteo de manera
cuidadosa y observando que dichos datos se encontraran en su clase
correspondiente, finalmente se obtuvo la siguiente tabla de frecuencia para
cada clase. Lo anterior es posible realizarlo mediante una función de Excel
mediante "tablas dinámicas"
Explicación Audio-Visual (material de refuerzo) En el siguiente vídeo, se muestra la obtención de frecuencias mediante tablas dinámicas, lo que es conveniente para el manejo de mayor numero de datos.
Obtenido de: www.youtube.com/watch?v=7zSM_VdaPr4
10.- Frecuencia
acumulada
Para poder realizar
tabla de frecuencia acumulada, se tiene que basar en la tabla de frecuencia.
De esta manera
se busca sumar la frecuencia de
cada clase y las frecuencias de las clases anteriores. La tablas de
frecuencia y frecuencia acumulada quedan de la siguiente manera:
11.- Frecuencia relativa
Como ya se explico en el trabajo, la
frecuencia relativa se obtiene por el producto del cociente de la frecuencia
para cada clase y el total de datos. La frecuencia relativa en el ejemplo para
cada clase es:
12.- Frecuencia relativa acumulada
La frecuencia relativa acumulada, se obtiene por la suma de la frecuencia relativa de cada
clase (Calculada anteriormente) y la frecuencia relativa de las clases
anteriores.
Nuestras tablas de frecuencia relativa y frecuencia relativa acumulada quedan
de la siguiente de manera:
Al juntar
cada pequeña tabla obtenemos nuestra tabla completa de datos agrupados y
finalmente se concluye la elaboración de una tabla de frecuencias para los
datos de la altura de los alumnos de una facultad.
Elaboración
de gráficas
I.HISTOGRAMAS
a)Frecuencia
Para realizar
la gráfica de Marcas de clase vs. Frecuencia es necesario primero seleccionar
los datos de la frecuencia absoluta (que es con la que trabajamos para esta
gráfica) y hacer con ellos una gráfica de barras como se muestra a
continuación:
Una vez que se
tienen estos datos se puede modificar la gráfica para que quede en el eje de
las variables independientes los valores de las marcas de clase y así se puedan
observar los datos de forma más sencilla:
Seleccionamos
editar la serie y cambiamos el nombre y los valores en el eje X.
Quedando así la
gráfica:
Después vamos al
formato de punto de datos y seleccionamos un ancho de intervalo igual a cero y
en Color del borde seleccionamos un color distinto al de las barras para que se
distingan como barras y no sea una figura sólida.
Y por último damos
formato al eje X para determinar dónde están las marcas de agua y dónde las
fronteras, seleccionando una marca de graduación secundaria de tipo cruz y
damos nombre a los ejes, para que quede nuestra gráfica como deseamos.
Y queda nuestra
gráfica de la siguiente forma:
b)Frecuencia acumulada
Y haciendo lo mismo
pero con los valores de frecuencia acumulada (F) en lugar de la frecuencia
absoluta, quedando una gráfica como la siguiente:
I.Polígono de frecuencias
c)Frecuencia relativa
Para las gráficas
de polígonos en Excel seleccionamos la gráfica de dispersión donde los puntos
están unidos por lineas rectas. De nuevo seleccionamos los valores que irán en
el eje Y y damos formato a los valores en el eje X como a continuación se
muestra:
Primero agregamos
dos valores anteriores y uno posterior a lo que ya tenemos a las marcas de
clase y a la frecuencia relativa, al primero le restamos lo necesario para que
el intervalo con el primer número sea igual a los intervalos siguientes y al
del final le sumamos; al segundo le anteponemos un cero para que la gráfica
inicie en el orígen y le agregamos un cero al final para cerrar la gráfica y
poder obtener el área bajo la curva.
Luego seleccionamos
el tipo de gráfica con los valores en Y y modificamos como a las anteriores los
ejes, títulos de los mismos y título de la gráfica:
Para darle formato
a la gráfica, elegimos ver lineas verticales para que simule una cuadrícula:
Para que el gráfico
quede con las características que se desean, modificamos las opciones de del
eje X y colocamos en mínima el valor con el que queremos que empiecen los
valores en X:
Para finalizar agregamos
títulos a los ejes y a la gráfica y colocamos las marcas de graduación
principal y secundarias como en los histogramas:
d)OJIVA
Para la elaboración
de la Ojiva se siguen las mismas indicaciónes que para un polígono pero los
valores en el eje X son los de la frontera (límites inferiores) y en el eje Y
la frecuencia relativa acumulada, quedando de la siguiente forma la gráfica:
Comentario de los autores:
Los autores del presente trabajo esperan que mediante la teoría anteriormente presentada, y el presente trabajo, quede completamente asentado el aprendizaje para la elaboración de tablas de frecuencias. Es posible utilizar ciertos software (Excel) que permita un manejo y realización de operaciones, como también para la elaboración de gráficas, que como ya ce menciono, es de gran importancia para la estadística descriptiva.
De igual forma, la elaboración del presente trabajo fue de gran importancia ya que nos permitió, aprender, realizar y comprender la realización de tablas de frecuencias con sus respectivas representaciones y además, la gran importancia para la estadística descriptiva. Agradecemos de su atención y esperamos que el presente trabajo sea de su agrado y consulta.
De antemano, aprovechamos para ofrecer unas disculpas respecto a ciertas imágenes que durante la edición virtual de este blog, no nos permiten acomodar de la manera más apropiada, de manera que estas se mueven un poco (acompañadas algunas de texto, causa también de ciertos espacios en blanco):
Fuentes:
●HINES, William, et al, “Probabilidad y Estadística para
Ingeniería”, 4a edición, Patria, México, 2011
●BORRAS, Hugo, et al, “Apuntes de Probabilidad y
Estadística”, Facultad de Ingeniería - UNAM, México, 1985
●DEVORE, Jay L., “Probabilidad Y Estadística Para
Ingeniería Y Ciencias” , 5a edición, Thomson, México, 2008
● Octavio Estrada Castillo, "Conceptos Básicos de Probabilidad y Estadística", Consultado el día 30 de enero del 2014,
●Hernan Jaramillo. Frecuencia Absoluta y Frecuencia
Acumulada [en línea], ed.2013, Roberto Cuartas [Fecha de consulta:14 Febrero
2014]. Disponible en:
●Valdez y Alfaro Irene Patricia. Probabilidad y
Estadística. División de Ciencias Básicas-Facultad de Ingeniería, Notas del
Curso, UNAM. [Fecha de consulta 15 Febrero 2014]. Disponible en:http://www.dcb.unam.mx/profesores/irene/Notas/esddes.pdf
●Universidad Jaume I, “Medidad de centralizacion”,
Consultado el dua 10 de Febrero del 2014, Disponible enwww.uji.es/~mateu/Tema2-D37.doc
